Das Matheldeversteck

Intuitiv betrachtet ist es ja eigentlich egal, ob wir wechseln oder nicht. Zu beginn besteht eine 1/3-Chance die richtige Kiste zu erwischen und in der zweiten Runde sind es noch zwei Kisten und somit eine Chance von 50% Mathelde zu finden. Oder?

Was wir dabei nicht vergessen dürfen, ist die Tatsache, dass der Moderator die richtige Lösung kennt und ganz bewusst eine Kiste ohne Mathelde geöffnet hat. Das hat Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit. 

Intuitiv betrachten wir die beiden Spielrunden unabhängig voneinander. Das wäre eine sogenannte einfache Wahrscheinlichkeit. 

Im vorliegenden Fall sprechen wir aber von einer bedingten Wahrscheinlichkeit. Sprich die Wahrscheinlichkeit dass ein Fall eintritt, nachdem ein anderer Fall bereits eingetreten ist.

Beispiel

In der ersten Runde wählen wir aus drei Kisten. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Mathelde in der gewählten Kiste befindet ist 1/3.

Für unser Beispiel wählen wir Kiste 1.

Der Moderator öffnet Kiste 3, in der Mathelde natürlich nicht ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Mathelde in Kiste 1 befindet, bleibt nach wie vor bei 1/3, aber die restlichen 2/3 konzentrieren sich nun auf Kiste Nummer 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass Mathelde in Kiste 3 ist, ist auf 0 gesunken, da diese Kiste ja offensichtlich leer ist.

In der zweiten Runde haben wir jetzt theoretisch eine Chance von 1/2 Mathelde zu finden, da wir zwischen 2 Kisten wählen können. Da der Moderator allerdings bewusst eine leere Kiste geöffnet hat, müssen die Wahrscheinlichkeiten aus der ersten Runde berücksichtigt werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Mathelde in Kiste 1 befindet ist jetzt also:

1/3 x 1/2 = 1/6 

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Mathelde in Kiste 2 befindet ist jetzt:

2/3 x 1/2 = 2/6 = 1/3

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Mathelde in der Kiste befindet, die wir zu Beginn nicht gewählt haben ist also doppelt so hoch. Ein Wechsel ist also auf jeden Fall sinnvoll.

Wir können das Problem auch angehen, ohne zu rechnen. Hierfür betrachten wir alle drei möglichen Fälle: 

Wir gehen wieder davon aus Kiste 1 gewählt zu haben.

Fall 1: Mathelde ist in Kiste 1 

Egal welche Kiste der Moderator öffnet, wir können uns bei einem Wechsel nur für eine leere Kiste entscheiden.

Ein Wechsel ist also schlecht.

Fall 2: Mathelde ist in Kiste 2

Der Moderator öffnet also Kiste 3. Wir wechseln zu Kiste 2, in der sich Mathelde versteckt.

In diesem Fall ist ein Wechsel gut.

Fall 3: Mathelde ist in Kiste 3

Der Moderator öffnet also Kiste 2. Wir wechseln zu Kiste 3, in der sich Mathelde versteckt.

Auch hier ist der Wechsel   sinnvoll.